ラプラシアンの極座標表示って暗記しないといけないですか？

計算してたら日が暮れるんだけど

働けボウフラ

数学的に厳密に物理を学びたいのですが
http://2chb.net/r/math/1732356217/

数学と理論物理はただの妄想、学問ですらない
http://2chb.net/r/math/1732015861/

数学で解明できるのはおっぱいまで。おちんちんの解明には物理が必要。
http://2chb.net/r/math/1725977008/

物理＞＞数学だよな
http://2chb.net/r/math/1731836972/

物理学者が新たなアイデアを産み出す→数学界で注目されだす
http://2chb.net/r/math/1730713586/

物理屋はテンソル積と直積の区別もつかんらしい
http://2chb.net/r/math/1730722787/

物理とつけば何でも許されます

糞スレの予感

物理はオス、数学はメス
http://2chb.net/r/math/1729867011/

x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosθ

と変数変換する.
座標(ξ1, ξ2, ξ3) = (r, θ, φ)に関する計量テンソルは,

g = diag(1, r^2, r^2 (sinθ)^2).

リーマン多様体のラプラシアンは,

△ = Σ_ij (√detg)^(-1) ∂ξi (√detg g^ij ∂ξj)
(ただし, g^ij は g^(-1)の(i, j)成分).

計算すると,

△
= (r^2 sinθ)^(-1) {∂r(r^2 sinθ ∂r) + ∂θ(sinθ ∂θ) + ∂φ((sinθ)^(-1) ∂φ)}
= 1/r^2 ∂r(r^2 ∂r) + 1/(r^2 sinθ) ∂θ(sinθ ∂θ) + 1/(r sinθ)^2 (∂φ)^2.

x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosθ

とする. 極座標系(r, θ, φ)に関する計量テンソルをgとし、

ω = √detg dr∧dθ∧dφ = dr∧r dθ∧r sinθ dφ

とする.

*(dr) = r^2 sinθ dθ∧dφ
*(r dθ) = r sinθ dφ∧dr ∴ *(dθ) = sinθ dφ∧dr
*(r sinθ dφ) = dr ∧ rdθ ∴ *(dφ) = (r sinθ)^(-1) dr∧dθ

*(dr∧r dθ∧r sinθ dφ) = 1
∴ *(dr∧r dθ∧r sinθ dφ) = (√detg)^(-1)

△=*d*dなので

△
= *d*(∂r dr + ∂θ dθ + ∂φ dφ)
= *d(r^2 sinθ ∂r dθ∧dφ + sinθ ∂θ dφ∧dr + (r sinθ)^(-1) dr∧dθ)
= *{(sinθ ∂r(r^2 ∂r) + ∂θ(sinθ ∂θ) + (r sinθ)^(-1) ∂φ^2)dr∧dθ∧dφ}
= (r^2 sinθ)^(-1) (sinθ ∂r(r^2 ∂r) + ∂θ (sinθ ∂θ) + (r sinθ)^(-1) ∂φ^2)
= 1/r^2 ∂r (r^2 ∂r) + 1/(r^2 sinθ) ∂θ (sinθ ∂θ) + 1/(r sinθ)^2 ∂φ^2

良スレ

糞スレ

ほかの証明は？

ごく普通の証明だと思うけど、何か革命的に素晴らしい証明でもあるの？

x = ρ cosφ
y = ρ sinφ
z = z

∂x^2 + ∂y^2
=1/ρ ∂ρ + ∂ρ^2 + 1/ρ^2 ∂φ^2

ρ = r sinθ
z = r cosθ

∂ρ = sinθ ∂r + r cosθ ∂θ
∂ρ^2 + ∂z^2
= 1/r ∂r + ∂r^2 + 1/r^2 ∂θ^2

∂x^2 + ∂y^2 + ∂z^2
= 1/ρ ∂ρ + 1/ρ^2 ∂φ^2 + ∂ρ^2 + ∂z^2
= 1/(r sinθ) (sinθ ∂r + r cosθ ∂θ)
+ 1/(r sinθ)^2 ∂φ^2
+ 1/r ∂r + ∂r^2 + 1/r^2 ∂θ^2
= 1/r^2 (2r ∂r + r^2 ∂r^2)
+ 1/(r^2 sinθ) (cosθ ∂θ + sinθ ∂θ^2)
+ 1/(r sinθ)^2 ∂φ^2
= 1/r^2 ∂r (r^2 ∂r) + 1/(r^2 sinθ) ∂θ (sinθ ∂θ) + 1/(r sinθ)^2 ∂φ^2