なんで定義から直ちに従わないものがあるの？

たとえば、Sn = 1^(-2) + 2^(-2) + 3^(-2) + ... + n^(-2) の極限を求めることを考える
Snの一般項が多項式とかで表せて、n→∞とすれば極限値が直ちに出てくるわけではない
フーリエ級数とか、三角関数の無限積展開とか、別の道具が必要になる

なぜだ？

働けウンコ製造機

極限Snは存在して、そのすべての性質は確定しているはずなのに
どうしてその確定しているはずの性質が定義から出てこないんだ？

数学的帰納法は循環論法では？
http://2chb.net/r/math/1728545284/

数学的帰納法は循環論法では？
http://2chb.net/r/math/1728545284/

背理法と対偶って違うの？
http://2chb.net/r/math/1730979839/

抽象化って無意味では？
http://2chb.net/r/math/1732444301/

それが収束することでさえ、積分使って示すしな

その点ミルナーとグロタンディークは天才

群論の定理だって群作用や行列使うじゃん

代数学の基本定理のくせに代数学で証明できない

興味なので足跡

1の内容すら何言ってるのか難しいこと一切理解できないけど
簡単なことが出てきたら覚えるのに摘み取る意気込みですナウ

素人だからわからないけど
因数分解…(x^2-9)→(x-3)(x+3)
すらも1(他の数論の道具。因数分解の例ならよく問題に含めさせられる公理を覚えて問題の式形とジグソーパズルして何が使えるかを発見する)をやってるから数論全体全てに言えるレベルだと思うんだけど
興味視聴させてたもー

？

>>15
因数分解のは関係ないか？
関係あるんじゃと思っただけ
関係無いのか。

>>11
代数で証明できるが

>>17
証明してみて

>>17
証明書いてくれませんか？
それか文献書いて下さい

>>17
証明はまだですか？
証明が書いてある文献だけでもいいです

>>1
>なんで定義から直ちに従わないものがあるの？
>たとえば、Sn = 1^(-2) + 2^(-2) + 3^(-2) + ... + n^(-2) の極限を求めることを考える
>Snの一般項が多項式とかで表せて、n→∞とすれば極限値が直ちに出てくるわけではない
>フーリエ級数とか、三角関数の無限積展開とか、別の道具が必要になる
>なぜだ？

横レスすまん
１）素朴な疑問で、疑問を持つことは悪くないが
　それ、下記 バーゼル問題で、オイラーの解法 で (π^2)/6であることは、既知とする
２）Snが”収束することの証明”は、比較的簡単らしい（下記）
　だから、S∞＝ζ(2)と書いて放置しておいても良い。実数であることだけなら、それで終わり
　ζ(s)で、sが奇数の場合は、多くはこれ
３）ところが、それが(π^2)/6 という円周率πとの関連をつけようとすると
　オイラーの解法のように、「sin x のマクローリン展開」などが必要に
　フーリエ解析を用いた解法もあるらしい
４）戻ると 上記は素朴な疑問で、疑問を持つことは悪くない
　昔、ゲオルク・カントールによるフーリエ級数の研究から、
　「そもそも実数とは何か？」
　という問題に踏み込んで、いまの集合論が出来上がったという
　150年くらい前の話で
　集合論が完成するのに100年くらい、多数の数学者が努力した
５） 素朴な疑問（大体は解決済み）を自力解決しようとするのは
　悪くないが
　たいてい「車輪の再発明」ということだ
　だから、過去の数学事例を知るが優先される
　その上で、未解決問題（オープン問題）をやりたい人はやればいい
　（リーマン予想とか）

勉強が進めば分かってくる

つづき

オイラーの解法
オイラーは、sin x のマクローリン展開を利用して解く方法を編み出した
求める級数の値は
馬=1～∞ 1/n^2=(π^2)/6
である

フーリエ解析を用いた解法
略す

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
集合論
集合論の歴史
ゲオルク・カントールによるフーリエ級数の研究において、実直線上の級数がよく振る舞わない点を調べる過程で集合の概念が取り出された。彼はやがて有理数や代数的数のなす集合が可算であるという結果を得て、それをリヒャルト・デーデキントとの書簡の中で伝えている。

そこでは実数についてもこれが成り立つかという問題に取り組んでいること、どうやらそうではないらしいことが述べられている。それからわずか数週間で、彼は実数が可算でないということについての証明を得る。その後、彼は数直線 R と平面 R2の間に全単射があるかという問題に取り組んで、3年にわたる研究の結果、それらの集合の間に全単射が存在することを示した。彼はその証明を伝えたデーデキントへの書簡の中で、有名な "Je le vois, mais je ne le crois pas"「私にはそれが見えるが、しかし信じることができない」という言葉を書き残している。

実数集合の持つ超越的な性格は同時代の数学者の一部のあいだに揺籃期の集合論そのものに対する拒否反応を巻き起こした。カントールの師レオポルト・クロネッカーによる否定はカントールに影響を与えることになった。

ツェルメロによって選択公理とその帰結としてすべての集合上に整列順序関係が入るということがはっきりさせられた。選択公理の意味するところやその妥当性についてはルベーグとボレル、ベールの間の議論などに代表されるように数学者たちによる活発な議論の的となった。

クルト・ゲーデル
一方で、カントールが頭を悩ませつづけた連続体仮説：「実数集合は自然数集合の次に大きい集合であるか？」は、クルト・ゲーデルとポール・コーエンの業績によってZFC公理系からは証明も反証もできないことがわかった。

数学にあたえた影響
集合論以前の数学は、数であるとか方程式であるとかあらかじめ与えられた数学的対象の性質を研究する、という性格が強いものだった。集合論以降は問題にしている数学的な現象をよく反映するような「構造」を積極的に記号論理によって定義し、その構造を持つ集合について何がいえるかを調べる、という考え方が優勢になった。とくに20世紀に入ってからの抽象代数学や位相空間論では様々な新しい数学的対象が集合の道具立てを用いて積極的に構成され、研究された。このパラダイムはブルバキによる『数学原論』においてその頂点に達したと見なされている。
(引用終り)
以上

>>21
>横レスすまん
悪いと全く思ってないのに謝罪してみせる傲慢馬鹿

>>21
意味なく番号つける馬鹿

>>21
＞たいてい「車輪の再発明」
再発明もできず、任意の正方行列が逆行列をもつ、とドヤ顔で語る底辺高卒がいたな

>>1
Ｑ：『なんで定義から直ちに従わないものがあるの？』
Ａ：定義から直ちに従う 数学なんて 皆無では？？
1）自然数 0,1,2,3,・・・
　定義から直ちに従うなら、整数論はイランｗ
2）微分 df(x)/dx、 積分 ∫f(x)dx
　定義から直ちに従うなら、微分積分、微分方程式の教科書はイランｗｗ
3）ユークリッド平面幾何
　定義から直ちに従うなら、原論やピタゴラスの定理証明はイランｗｗｗ ；ｐ）

ふむふむ
ふむむ？
くわしく
ほりたい
ねそれ！

>>26-27
まあ、普通の話だが ；ｐ）

1）数学は、言葉だと思いなさいよ
　理系の言葉！ 物理や化学や工学や経済や いろんなものを表す
2）例えば日本語
　文法があって、語彙がある
3）文法があって、語彙があるだけでは 足りない
　物語や小説がない
　同様に 数学が言葉として、文法（公理）や語彙（定義）
　それだけでは、全く足りない
4）文法（公理）や語彙（定義）を使って作られるのが
　（なんとか）ｘｘ理論ってやつ
　その理論には、いろんな定理や 例題や 解かれた予想や
　未解決問題があるのです

繰り返すが
Ｑ：『なんで定義から直ちに従わないものがあるの？』
Ａ：定義から直ちに従う 数学なんて 皆無では？？
　；ｐ）