分からない問題はここに書いてねスレは現行落ちてるようですが、
消すのもなんだったので、前スレ>>1に書いてたのをとりあえずそのまま書いてます >>991
>排中律と矛盾律の区別すらつかんのかおまえら
排中律
P∨￢P
（君の言うところの）矛盾律
￢(P∧￢P)
古典論理ではどちらも真
特にドモルガンの法則で同値変形できる
直観主義論理では前者は真ではなく後者は真
開集合とその補集合の内包の合併集合は一般に全体集合でないけれども
開集合とその補集合の内包の共通部分の補集合の内包は必ず全体集合になるからね 同様に
排中律の否定￢(P∨￢P)は古典論理ではもちろん直観主義論理でも偽
開集合とその補集合の内包の合併集合の補集合の内包は空集合だからね
三角形の五心（重心、垂心等々）のどれについても、３本の直線が１点で交わるのが不思議でなりません。
なにか深い理由があるのでしょうか？（個々の場合がそうであるのはもちろん分かるのですが）
((A→B)∧(￢A→B))→Bは直観主義論理でも成り立つのかどうか、考えたけどわからなかった
((A→B)∧(￢A→B))→B
=￢((￢A∨B)∧(￢￢A∨B))∨B
=￢((￢A∧￢￢A)∨B)∨B
=￢(￢(A∨￢A)∨B)∨B
=￢B∨B
成立するとは言えません
>>9
先の１か所では全く回答が得られなかったので
>>8
当然既知の問題だろうと思うのですがどこにも答えがみつかりません。
もしわかれば教えてください。 >>11
>当然既知の問題だろうと思うのですが
問題にしている人を見たことありません >>12
答えは自明だということでしょうか？
疑問が問題として成立していないということでしょうか？
それとも超難問ということでしょうか？（それはないと思いますが）
どこかで話題にされていることだと思うのですが。 >>13
1点で交わることが証明できるので証明されたわけです
その「意味」を考えるのは「意味」があるのかどうか 3本の直線が1点で交わるような点を五心って呼んでるだけだろ
もちろん「意味」を考えようとするのは「無意味」ではないかもしれません
面白い解釈・説明を思いついたら教えてください
>>16
「意味」というより、むしろ「形式」に関する不思議さという感じです。
>>17
そうですね。たしかに迷ったのですが。
数学基礎論？あるいは？
でも、そんなに珍しい問いとも思えないのですが >>18
>「意味」というより、むしろ「形式」に関する不思議さという感じです。
形式とは？ >>18
>でも、そんなに珍しい問いとも思えないのですが
１＋１＝２になるのは不思議ですと言っているように見えますよ >>15で終わってる話だとは思うが
>>5はEncyclopedia of Triangle Centersでも眺めとけば
分野的には総合幾何学 (synthetic geometry) だろうが現代的にはドマイナーだろ
（>>18は一体どっから基礎論出てきた？ △ABCで点の名前を取り替えても引かれる直線は同じだから
3直線の交点は一般には3点あるけど
点の名前を入れ替えても変わらないから実は1点
こういうことを言わせたかったのか
999 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/04/28(木) 21:40:27.83 ID:+gaZyQqp [1/2]
>>996
だからAさんが計算したらJordanの標準形がXになりました
Bさんが計算したらYになりました
そんな事が起こるのかでしょ？
もちろん答えは起こらない、なぜか、で紹介されてる話が
XとYが同じ行列Aと相似ならXとYも相似にならざるをえず、その場合任意の整数kに対してrank(X^k)とrank(Y^k)は一致しないといけないでしょ？
ありがとうございます。
齋藤正彦著『線型代数演習』の一意性の説明を見て、分かりました。 たぶんそういう攻め方では示せないと思うけれど
期待しているのはそういう「原理」？
>>25
簡単な証明が欲しいと泣いても仕方ありませんよ 齋藤正彦著『齋藤正彦 線型代数学』
以下の命題が当然成り立つと書かれています。
証明してください。
-----------------------------------------------
T を有限次元ベクトル空間 V 上の線形変換とする。
α を T の固有値とする。
m を α の重複度とする。
W(α) を α に属する広義固有空間とする。
dim W(α) ≦ m
が成り立つ。
>>27
あ、やっぱり分かりません。
証明してください。 jordan分解したら当たり前
つまりそもそも質問する時にjordan分解使っていいのかを明示しとかんと質問にならん
>>30
Jordan分解というのはそれ以前に出てきていませんので、使ってはいけません。 >>27
齋藤正彦さんが、この命題が成り立つのは「当然」と書いているのは、有限次元のベクトル空間が広義固有空間の直和に分解できるという定理の証明の中でです。
T を有限次元ベクトル空間 V 上の線形変換とする。 T の異なる固有値の全部を β_1, …, β_p, それらの重複度を m_1, …, m_p とする。
V = W(β_1) (+) W(β_2) (+) … (+) W(β_p)
が成り立つ。
齋藤さんは、 dim W(β_i) ≧ m_i のほうは証明しています。
そして、 W(β_1) + W(β_2) + … + W(β_p) が直和であることも証明しています。
ちょっと思ったのですが、有限次元のベクトル空間が広義固有空間の直和に分解できるという定理を証明するためには、
dim W(β_i) = m_i であることを証明する必要はなく、 dim W(β_i) ≧ m_i が証明できさえすれば充分ですよね？
dim [W(β_1) (+) W(β_2) (+) … (+) W(β_p)] = dim W(β_1) + dim W(β_2) + … + dim W(β_p) ≧ m_1 + m_2 + … + m_p = n
から、 dim [W(β_1) (+) W(β_2) (+) … (+) W(β_p)] = n が分かりますし、結果的に、 dim W(β_i) = m_i となることも分かります。 >>32
> 齋藤さんは、 dim W(β_i) ≧ m_i のほうは証明しています。
>
> そして、 W(β_1) + W(β_2) + … + W(β_p) が直和であることも証明しています。
この２つ証明しててまだ分からないならその本にで出せるレベルにないよ dim W(β_i) = m_i
が成り立つことは
>>33
に書いた通り、分かります。
分からないのは、齋藤正彦さんが dim W(β_i) ≦ m_i が成り立つのは「当然」と書いたことです。 訂正します：
dim W(β_i) = m_i
が成り立つことは
>>32
に書いた通り、分かります。
分からないのは、齋藤正彦さんが dim W(β_i) ≦ m_i が成り立つのは「当然」と書いたことです。 齋藤正彦さんの本には、このような意味不明な記述が沢山あります。
完成度が佐武一郎さんの本に比べてずっと低いと思います。
>>36
齋藤正彦さんの有限次元のベクトル空間が広義固有空間の直和に分解できるという定理の証明の流れを書きます。
それを読めば、齋藤正彦さんが「当然」と書いたことが奇妙であることが分かると思います。
(1) V_p = W(β_1) + W(β_2) + … + W(β_p) が直和であることを証明している。
(2) V = V_p であることを示せば良いと書き、そのためには dim W(β_i) = m_i を示せばよいと書いている。
(3) dim W(β_i) ≧ m_i を証明し、逆の不等式は当然だから、 dim W(β_i) = m_i が成り立つと書いている。
もし、この証明が上のように書かれていなくて、以下のようだったなら、何も奇妙なところはなかったことになります：
(1) V_p = W(β_1) + W(β_2) + … + W(β_p) が直和であることを証明する。
(2) V = V_p であることを示せば良い。そのためには dim W(β_i) ≧ m_i を示せばよい。
(3) dim W(β_i) ≧ m_i を証明する。 >>38
そして、結果的に
dim W(β_i) = m_i
が成り立つことも分かるということになります。 だからそんな事書かなくてもそのレベルの本が読めるレベルの人間なら当たり前だって言ってるんだよバーカ
>>40
では証明してください。
以下の証明以外の証明をお願いします。
dim [W(β_1) (+) W(β_2) (+) … (+) W(β_p)] = dim W(β_1) + dim W(β_2) + … + dim W(β_p) ≧ m_1 + m_2 + … + m_p = n
∴ dim [W(β_1) (+) W(β_2) (+) … (+) W(β_p)] = n
∴ dim W(β_i) = m_i 結論としては、
(1) V_p = W(β_1) + W(β_2) + … + W(β_p) が直和であることを証明する。
(2) V = V_p であることを示せば良い。そのためには dim W(β_i) ≧ m_i を示せばよい。
(3) dim W(β_i) ≧ m_i を証明する。
と証明を書くべきところを、齋藤正彦さんはきちんと書けなかったということになります。
>>42
確かにお前の言う通りだ
>>40はどうしようもねーな
明らかで済んだら教科書は要らない V = ⊕W(βᵢ)であるからn = ΣdimW(βᵢ)
miが多重度の全体だから n = Σmi
dimW(βᵢ)≧mi
∴ dimW(βᵢ)=mi (∀i)
バーカ
>>38
>(1) V_p = W(β_1) + W(β_2) + … + W(β_p) が直和であることを証明している。
>(2) V = V_p であることを示せば良いと書き、そのためには dim W(β_i) = m_i を示せばよいと書いている。
>(3) dim W(β_i) ≧ m_i を証明し、逆の不等式は当然だから、 dim W(β_i) = m_i が成り立つと書いている。
この流れで自然ですよ
>(1) V_p = W(β_1) + W(β_2) + … + W(β_p) が直和であることを証明する。
>(2) V = V_p であることを示せば良い。そのためには dim W(β_i) ≧ m_i を示せばよい。
>(3) dim W(β_i) ≧ m_i を証明する。
こちらでも結構ですよ >>43
>明らかで済んだら教科書は要らない
まあここは明かで十分ですかね 統失です。
球面は、正方形の角の軌跡の集合なのでしょうか？
いろんな角度で正方形を回転させる。
正四面体の角の中面の長さの軌跡と考える方が一般的です
『数学セミナー2022年03月号』の「圏論入門の足掛かり」に、
C を圏としたとき、 C における２つの射 f, g : X → Y とそのイコライザーとその普遍性を表した図式が可換だと書かれています。
f, g : X → Y という図式を考えると、一般に f ≠ g なので、この部分で可換であるという条件が満たされないように思うのですが、どうなんでしょうか？
可換の定義が厳密に書いてないため、判断できません。
e:Z→Xがf,gのequalizer
:⇔
(1) 図式
Z→X
↓ ↓
X→Y
が可換(ただしZ→Xはどちらもe、X→Yは片方fでもう一方がg
(2) 略
の図式の話やろ？
f,gが等しくなくても可換になることなんて山のようにあるでしょ？
イコライザーの図式で可換と言っているのは、普遍性を満たす3つの対象の図式であって、
全体の図式(X→→Yを含む)は可換ではない
確かに初学者には、はっきり書いたほうが分かりやすいかもしれない
>>54
ん？X→Yの2つの射のところのこと？
この図全体の図式が可換というのは
図のどの部分を抜き出しても可換図式であるという意図？
ID:2kUu3ZDv もそのように解釈してるのかな？
イコライザーに関しては
>>50の(1)が可換なときウィキペの三角が可換となるuが存在するわけで
可換というとこの2ヶ所つまり>>50の説明が普通だと思う>>49
ウィキペのような書き方も良くあるけど
Y←X
↑
X
のプルバックがイコライザという書き方にした方がいい
>>51で言っているのはそれ？ >>55
そうです。
図式を、対象を点、射を辺とする有向グラフと考えたときに、有向パスで結ばれた2点を任意にとるとその2点を結ぶ任意のパスに対応する射の合成がすべて
等しいとき可換図式というのかと思っていました。
X → Y には2つの射 f, g があるので、可換図式であるためには、 f = g でなくてはならないのかと思っていました。 まぁでもwikiに載ってる図式が可換と書いてあったらf=gになってしまう気はするけどな
wikiのレベルなんてそんなもん
>>56
グラフ理論の定義が上手くいくか自分は分からないが、考え方はそれで合ってる 『数学セミナー2022年03月号』の「ガウスの数論から現代数学へ（II）」（栗原将人）
「また、種の理論が相互法則だけで組み尽くせない力を持っていることも、わかっていただけると思う。高瀬正仁氏は[3]155ページで「ガウスの目には、
ガウス以前の素数の形状問題は特別な形で表現された平方剰余の理論のように映じたでしょう」と述べているが、これらの表はそうではないことを
語っていると思われる。」
脚注には、以下のように書かれています。
「[2]212ページには「ガウスの目には、素数の形状問題は平方剰余の理論の一区域のように見えたのではないかと思います」と同じ主張が述べられている。」
以下の文献を上の文章を書くためだけに引用しています。
[2] 高瀬正仁『ガウスの数論、わたしのガウス』筑摩書房（2011年）
[3] 高瀬正仁『ガウスに学ぶ初等整数論』東京図書（2017年）
>>56
>射の合成がすべて
>等しいとき可換図式というのかと思っていました。
可換な三角や四角は中に○矢印書くのが可換図式 >>57
イコライザの説明では良くある図ではある
ソースとターゲット同じ射f,gが（2点間の有向グラフとして）可換てのは
その通りf=gだよね
そういう無意味なことまで杓子定規に考えるのはよろしくなかろう 自分も>>51で終わったものを何故そこまでややこしくしたのか不思議でならなかったな ちなみにイコライザーのwikipediaは一応きちんと「可換にする(eq○u=mを満たす)」と書いてある
読んでないが、引用を見る限り数学セミナーの書き方が混乱を招くものだったのかもしれない
正確に数式も併記しとけばいいんだよ
てかそもそも数式の方がメインで図式は参考図というのが基本
ましてや“辞書”として使える文章なら感覚的な捉えやすさと正確さの天秤は基本正確さの方を優先すべき
読者の感覚的理解も磨く事を目的ともする教科書とはそこが違う
T を T(x_1, x_2, x_3, …, x_n) = (x_1, 2*x_2, 3*x_3, …, n*x_n) で定義される C^n 上の線形変換とする。
T の不変部分空間をすべて決定せよ。
>>69
おまODE知らんのだろ
重要性って人によって全然違うんだが？ むしろ５ｃｈで微分方程式の知識を持ってる奴ほとんどいない
2×2行列A、Bがいずれも逆行列を持たず、A+Bは逆行列をもち、さらに、AB=BAならば、AB=0であることを証明せよ。
この問題への以下の回答がよくわからないので
解説して下さい、よろしくお願いします
Tacosan
A は 2つの独立な固有ベクトル x, y をもち, これらはどちらも B の固有ベクトルでもある. で条件から Ax = By
= 0 としてよいので AB = O.
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12932948.html AもBも固有ベクトル分解を持たないならいずれのJordan cellは[[0,1],[0,0]]と相似で特に冪零になる
すると
(A+B)(A-B)=A²-B²=O
からA=Bになってしまうので矛盾
よってAに関する固有ベクトル分解V = Fx⊕Fyを持つとしてよい
A,Bが可換だからこれはBに関する固有ベクトル分解にもなっている
実際x,yに対する固有値をl,mとして
ABx = BAx = lBx
∴BxはAの固有値lに対する固有ベクトル
∴Bx = ux (∃u)
同様にBy = vy
さらに仮定からkとl、uとvのいずれかが０だがk=u=0なら(A+B)x=0となって仮定に反する
∴k=0, v=0 or l=0, u=0
前者のとき
ABx = BAx = 0、ABy= 0
でAB=０
後者も同様
>>77
A，Bがいずれも逆行列を持たないのでいずれも0を固有値に持つ
つまりAx=0，By＝0となるx≠0、y≠0がある
これらが両方の固有ベクトルであるかどうかはどうでもよくて
もしx，ｙが一次従属(つまり平行)ならば(A+B)x=0となってA+Bが逆行列を持つことと矛盾するからｘ，ｙは一次独立
なのでABx=BAx=0とABy=0よりAB=O >>77が回答として適当かといわれると微妙なところだな
あまり分かってない人が書いてそう 微分形式がわかりません
わかりやすく教えて下さい
よろしくおねがいします！
証明について質問です
↓で『定理5.6.56』と、これの群論による証明があります
https://pisan-dub.jp/doc/2011/20110114001/5_6.html
これを群論によらない形で証明できないでしょうか？ （背理法とか？）
-----
定理は以下の式についてのものです。
X^n≡a (mod p) （p：素数）
①この式が解を持つとき、解の個数はd個。
d=(n, p-1) （d：GCD(最大公約数)）
②この式が解を持つ必要十分条件は、以下を満たすこと。
a^((p-1)/d)≡1 (mod p)
-----
特に上記の①について証明を知りたいです
（元の記述から①②の順番を入れ替えています）
よろしくお願いします >>85
なぜ群論を避けたいの？
もちろんガウスは群論無しで証明したけれどかなりまわりくどいよ z/pzが体であることを認めれば書けないことはないくらいの分量になるが、群論が嫌なのに体論を使うのもおかしいしな。
有理数より無理数のほうが圧倒的に多いようですが
対角線論法では、有理数の数え上げでは取りこぼすような数が少なくとも１つは存在する
という結論となっており、有理数より無理数のほうが圧倒的に多いという考えに至りません。
どうすれば有理数より無理数のほうが圧倒的に多いということを実感できるでしょうか？
偶数と自然数の濃度は同じです
同様に、10000000000000000の倍数と自然数の濃度も同じ
有理数と自然数の濃度も同じですね
これらの数はどんなに頑張っても1個余ることすらもないのに、無理数だと1個余ってしまうのです
めちゃくちゃ多いような気がしませんか？
Qは可算なのにR＼Qは非可算
Q～Nは例えばN×Nでも可算なので有理数を有理数個集めても無理数には全然足りない
それを言ったら、2つの素数で書ける自然数はN×N個だが自然数全体の中での密度はごく僅かだ。
実数濃度と可算濃度の違いは非構成的な概念を持ち出さないと実感できないと思う。
V を有限次元複素ベクトル空間とし、 T を V 上の線形変換とする。
T が対角化可能であるための必要十分条件は
V = Ker (T - λ*I) (+) Im (T - λ*I)
が任意の λ ∈ C に対して成り立つことであることを示せ。
>>86
>なぜ群論を避けたいの
すいません。
これは私が群論を理解出来ていないためです。
群論の初心者向けテキストなどを尋ねて、証明は参照しているサイトを見るべきでしたかね？ >>94
有限体は原始根を持つことさえ認めれば、>>85の質問は道具無しで証明できる >>95
群論の考え方と原始根について理解できれば、もうそれだけで終わると言うことですかね。
ご対応ありがとうございました。
勉強します。 U を C 上のベクトル空間とする。
U ∋ x → ||x|| ∈ [0, +∞) をノルムとする。
||x|| = √(<x, x>) を満たすような U 上の内積が存在するための必要十分条件は、
||u + v||^2 + ||u - v||^2 = 2 * (||u||^2 + ||v||^2) が任意の u, v ∈ U に対して成り立つ
ことであることを示せ。
(x,y) := ( ||x||²+||y||²-||x-y||² )/2
