【大学数学の基礎】消去法と行列式を語るスレッド ->画像>1枚

εδと∀∃を語るスレッド、に引き続き

線形代数の２大奥義、消去法と行列式について語ろうぜ

予告
・消去法が失敗する時
・ラスボス”行列式”、降臨

乞うご期待ｗ

行列式“束”として複式簿記を考えてみる。

なぜ、複式簿記？

行列式は線形代数に必須じゃないという立場で書かれたLinear Algebra Done Rightというベストセラー本がありますね。

>>5
そう来たかｗ

ま、行列式抜きにすることもできる

で、例えば、多変数の解析学で出てくるヤコビアンは、
結局、外積代数使ってやれよ、ってことになるかもな

大学入試は、行列式が亡くなり複素数平面が復活 した
多浪の人は負担が増えたな
数三Ｃ 統計復活か
行列式は大学でもやるから、高校で学ばないと大学に入ってから困るだろう

この学校では行列を教えてるようだ：
https://www.dmm.co.jp/mono/dvd/-/detail/=/cid=h_086iqqq17/
>>無料サンプル動画をみてしまった‥

　ｹｰ
　毛ハミの定理が、黒板のやや左下に。彡

数値解析の課程に入れるべきだわ
一大分野

常中間行列異常無し

行列式
1 置換
n文字の置換σの総数はn!個ある
一対一変換

σ(1)=i1、σ(2)=i2、…、σ(n)=inであるときσ=
1 2 … n
i1 i2 … in
と書く。括弧は省略する。

123 132 213 231 312 321
231 213 321 312 123 132
は全て等しい。

3文字の置換は全部で3!=6個ある
上123に対して
下123 132 213 231 312 321

どの文字も全然動かさない置換を恒等置換または単位置換という1nと書く

置換σの逆変換を逆置換という
σ^(-1)と書く。形式的に2行の上下をひっくり返せばよい
σ^(-1)=i1 i2 … in→1 2 … n

σ=123→231のとき、
σ^(-1)=231 = 123
123 312

置換の積τσ
σ=231 、τ=132 に対して
τσ=321 τが先、στ=213 σが先
一般にはτσ≠στである。

定理1
(στ)ρ=σ(τρ) 結合法則
1σ=σ1=σ 単位元1n
σ σ^(-1)=σ^(-1) σ=1 逆元σ^(-1)

n文字の置換全体の集合Snは二項演算として積が定義され、結合法則が成り立ち、単位元を持ち、逆元を持つから群である。n次対称群という。有限群である。

定理2
・置換σがSn全体を重複無く動く時、逆置換σ^(-1)もSn全体を重複無く動く
・置換τを1つ固定する時、置換σがSn全体を重複無く動く時、置換の積(τσもστも)はSn全体を重複無く動く

証明
σ1≠σ2⇒σ^(-1)1≠σ^(-1)2であるから逆置換σ^(-1)は重複しない。個数はn!なのでSn全てを覆う。
τとの積も逆置換と同様に重複無くSn全てを覆うことが示せる。

2個だけ置換するものを互換という
任意の置換は互換の積で表せる。実際、隣同士を互換していけば全ての置換は表せる。但し表し方は一通りではない。

定理3
証明
n変数多項式(n変数差積)
⊿=Π(xj-xi) (i<j)
f=f(i)に対してf^σ=f(σi)とする

⊿^σ(i)=±⊿(i)
特にτか互換ならば
⊿^τ(i)=-⊿(i)となる。

置換σが互換の積として2通りに表されるとする
σ=Πτ=Πρ
⊿^σ(i)=(-1)^k⊿(i)=(-1)^l⊿(i)
∴ (-1)^k=(-1)^l
即ち復数の表現があるとしてもそれらの偶奇性は一致しなければならない。

偶置換と奇置換。
置換の符号。sgn σ。signature
sgn 1n=+1
sgn σ^(-1)=sgn σ
sgn (τσ)=(sgn τ)(sgn σ)

2 行列式
定義 Σsgn σ (Πx(iσi)) (σ∈Sn)
detA=Σsgn σ (Πa(iσi)) (σ∈Sn)

対角行列の行列式=Πa(ii)
特に単位行列の行列式=Π1(ii)=1
また零行列の行列式=Π0(i1)=0

ai=0の時、detA=0
tai=0の時、detA=0

detA=(-1)^(n(n-1)/2)Πx(i(n+1-i))
a^3+b^3+c^3-3abc

定理1
detA=det(tA)
証明
定義より、
detA=ΣsgnσΠa(iσi) σ∈Sn
=Σsgn(σ^(-1))Πa(iσ^(-1)) σ^(-1)∈Sn
σ^(-1)(i)=k ⇔ i=σ(k)
=det(tA)

定理2
det(…1+2…)=det(…1…)+det(…2…)
det(…c1…)=cdet(…1…)
列に関するn重線型性、多重線型性

定理3 列に関する交代性
det(a(τ(i)))=sgn(τ)det(a(i))
証明
Σsgn σ Πa(i τσ(i)) σ∈Sn
=sgn τ Σsgn τσ Πa(i τσ(i)) τσ∈Sn
=sgn τ Πsgn σ Πa(i σ(i))
=sgn τ detA。

Σsgn τσ Πa(i τσ(i)) τσ∈Sn
=sgn τ Σsgn σ Πa(i τσ(i)) σ∈Sn
=sgn τ Πsgn σ Πa(i σ(i))
=sgn τ detA。

定理4 ai=ajの時、det(ai)=0
証明
以下の定理5により
detA=det(0i)=0

定理5 det(ai)=det(ai+caj)=det(aij)
証明
det(ai+caj)=det(ai)+cdet(aj)
=det(ai)+c×0=detA

定理6 行列式の特徴付け
証明
xj=Σxijeiとする。
F(xi)=F(Σxijei)
n重線型性を繰り返し使って
=ΣΣ…ΣΠx(ik, k)F(e(ik))
交代性を使って
=ΣΣ…ΣΠxsgnσF(ei)
=F(ei)det(xi)

ヴァンデルモンドの行列式
=Π(xi-xi)=⊿xi
定数倍を確認し、係数を比較して一致を示す。

定理7
証明
F(xi)=det(Axi)=detAX。
n重線型性と交代性により
detAX=F(ei)det(xi)=detA・detX

定理8
detA=detA11・detA22
証明
detA=Σsgn σ Πa(iσ(i)) , σ∈S(m+n)
m+1以降が恒等置換になっているものだけを考えればよい。
するとdetA=detA11となる。

定理9
行列式の次数下げ

p次小行列式。
定理10
行列Aの階数がrであるとはr次小行列式のうち0でないものが少なくとも1つ存在し、rより大きな次数の小行列式の中には0以外のものは存在しない。
基本変形により標準形に移しても行列式の値は変わらない。証明は両向きの不等式が得られ等号が成り立つ。

定理11
行列が正則⇔行列式≠0

3 行列式の展開
小行列式と余因子。
定理1
行列式の展開。
定理2
定理5
クラメルの公式

自分で数値計算やらないと身に付かない分野

プログラムに落とし込むのがなかなか難しい

行列
1 定義
積の定義、cik=Σaijbjk
=ai1b1k+ai2b2k+…+aimbmk

定理2
定理3
ともに行列の積の定義を用いる。

単位行列En=(δij)
クロネッカーの記号。
n項単位ベクトルei

積AB=(Abi)
x=(xi)=Σxiei 線型結合
一般に線型結合x=Σxiai

定理6
複素共役行列について
定理7
転置行列tAについて

行列の区分け。ブロック分割
小さい行列Aijがあたかも成分aij(CまたはR)であるかのように計算できる(定義される)。

3 正方行列 正則行列

行列の割り算、逆行列、群をなす
対称区分けが重要
対角行列、スカラー行列、
固有和、跡、トレイス、スプール、TrA。
定理 Trの線型性、Trの可換性
Tr(αA+βB)=αTrA+βTrB、
Tr(AB)=Tr(BA)

4 線型写像
f : Cn→Cmの線型写像fは行列Aで表されるものに限ることの証明。略。

自然な一対一対応、線型変換、恒等変換、R^2とV^2、R^3とV^3

4 基本変形と階数
基本行列、
左基本変形、右基本変形
要として掃き出す

定理2
標準形への変形

定理3
正則性
5
1次方程式
係数行列と拡大係数行列
Aの階数、四次元空間内の直線と解釈出来る。
斉次1次方程式系、自明な解、自明でない解、エルミート積、txy'
共役線型性、正値性、
6
シュワルツの不等式、掛け算
三角不等式、足し算
随伴行列Ａ※、エルミート行列、実対称行列、ユニタリ行列、直交行列、
ユニタリ群、直交群、
7
合同変換、平行移動、直交変換、合同変換群、合成変換、裏返しにしない時、運動という。アフィン変換、行列式の絶対値。

1
集合と写像
同値関係、A~B、相似。
B=P^(-1)AP。反射律、対称律、推移律。
同値関係による類。類別。
商集合。逆像は復数あることもあるし全く無いこともある。全逆像、{x|P(x)}。

一対一写像、上への写像、像、一対一対応、逆写像、自然な射影写像、

1ₙ 恒等置換、単位置換
σ⁻¹ 逆置換
τ￮σ=τσ=(132)(231)=(321)
1→1→3、2→3→2、3→2→1
(231)(132)=(213)
互換σに関してσ⁻¹=σ
結合法則、単位元の存在
逆元の存在、Sₙはn次対称群
置換σの符号sgn σ=1、-1

123 +1
132 -1
213 -1
231 +1
312 +1
321 -1

n≧2とする。偶置換全体をSₙ⁺、
奇置換全体をSₙ⁻とする。
∀τ∈Sₙ⁺に対して∃σ=(21)∈Sₙ⁻を掛けるとστ∈S⁻になるので|S⁺|≦|S⁻|
逆に∀ρ∈S⁻に対して∃σ=(21)∈S⁻を掛けるとσρ∈S⁺になるので|S⁻|≦|S⁺|よって|Sₙ⁺|=|Sₙ⁻|=n!/2

σρ₁=σρ₂の時, 両辺に左からσ⁻¹を掛けるとρ₁=ρ₂となる。すなわちρとσρは一対一に対応する。同様にτとστとは一対一に対応する。

(12)(23)(34)…(n-1 n)=(23…n 1)
n-1回。
同様にn-2、n-3、…1回置換をおこなうと(-1)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾ᐟ²

1234 +
1243 -
1324 -
1342 +
1423 +
1432 -

2134 -
2143 +
2314 +
2341 -
2413 -
2431 +

3124 +
3142 -
3214 -
3241 +
3412 +
3421 -

4123 -
4132 +
4213 +
1231 -
1312 -
4321 +

∃置換σによってσ(1)=i≠1となるとすると互換τ(i 1)によってσ(1)=iと出来る。その後でσ(2)=j≠2とすると互換τ(2 j)によりσ(2)=jとなる
よってσ=τ(1 i)τ(2 j)…と表される。以後も同様。
例(3 1 4 2)とすると
σ(1)=3よりτ(13)で(3214)
σ(2)=1よりτ(23)で(3124)
σ(3)=4よりτ(34)で(3142)
よってσ=τ(13)τ(23)τ(34)と互換の積として表される。

互換τ(i j) (i<j)は隣接互換ρ(j-1 j)…ρ(i i+1)2よりi→jと出来る。
i、i+1、i+2、…、j-1、j→
j、i、i+1、…、j-1→
j、i+1、…、j-1、iとなる。

∀置換は∃互換の積として表され、∀互換は∃隣接互換の積として表される。

行列式Σ sgn(σ) Πx(i σ(i)) σ∈Sₙ
123+231+312-132-213-321

det(cA)=cⁿ|A|、 |ᵗA|=|A|
多重線型性。ある行または冽に関して和とスカラー倍の線型性が成り立つ
交代性。det(a(σ(i)))=sgn(σ)detA
例 B=(a₂ a₃ a₁)の時, |B|=σ|A|=|A|
多重線型性を持つ写像は定数倍の任意性を除きdetに等しい。

det(AB)=(detA)(detB)
対称な区分け

ヴァンデルモンドの行列式
⊿=|ᵗ(1 x x² … xⁿ⁻¹)|
=Π{Π(xᵢ-xⱼ) (i<j)差積
0+1+…+(n-1)=n(n-1)/2
ₙC₂=n(n-1)/2
(x₁⁰ x₁¹ x₁² … x₁ⁿ⁻¹)

det(A －B、B A)=|det(A+iB)|²
A －B A+Bi －B+Ai A+Bi O
B A B A B A－Bi
(A+Bi)(A－Bi)=|det(A+Bi)|²

加法とスカラー乗法
a₁、a₂、…、aₖの線型結合
r₁a₁+r₂a₂+…+rₖaₖ
線型独立、線型従属、
余弦定理a²=b²+c²-2bccosx
正弦定理a=2Rsinx
(a|b)=|a||b|cosx
a･b≦|a||b| シュヴァルツの不等式
|a+b|≦|a|+|b| 三角不等式
S=|a×b|=absinx
x=x₁+ta t∈ℝ
Vector表示、Parameter表示、助変数表示、方向Vector、法線Vector
x=x₁+ta+sb t, s∈ℝ
平面のVector表示、Parameter表示、助変数表示、

x=a+s/(s+t)(b-a)=(ta+sb)/(s+t)
内積、Nor、表示、座標
s: t、重さと腕の長さは反比例する
aにt≧0、bにs≧0がおいてある
重心はM=s+t、(ta+sb)/M
=(ta+sb)/(s+t)

1
(1) b-a=cより線型従属
(2) -1+4+0-2+2-0=3≠0より線型独立
(3) 2+3+0-4-0+1=2≠0より線型独立
(4) a=2(b-c)より線型従属
列Vectorが線型独立、線型従属
⇔detA≠0またはdetA=0

2
(1) 直線x=a+t(b-a) t∈ℝと表せる。
x=(1-t)a+tb=sa+tb s+t=1 (直線)
a, bは線型であるから表し方は一意的である。斜交座標系の成分として一意的である。

(2) 線分x=a+t(b-a) 0≦t≦1と表せる。x=sa+tb、s+t=1、0≦s≦1、0≦t≦1、s+t=1 (線分)