ゆっくり代数幾何を勉強するためのスレッド。
初めてスレッドを立てるので、至らない点あれば教えていただけると幸いです。
HartshorneとLei Fuの本を併用して読んでいます。みんなで疑問点を潰し合う、私の備忘録にする、そういう風に使おうと思います。
私も代数幾何を勉強しています。
お互いに頑張りましょう。
自分はさいきん代数幾何の特に交叉理論の勉強してます
がんばろ～
Liuを最後の章まで読みたい
並行して、楕円曲線と類体論をまったり勉強する
Mumfordの代数幾何学講義を読む予定です
質問あったら書き込んでいくのでよろしく。
スレ主です。皆さんご参加ありがとうございます。嬉しいです。
一緒に頑張りましょう！
今日の進捗
1.Hartshorneの命題2.3の証明を追った。次のようなもの。
・Aが環のとき、(Spec A, O_spec A)が局所環付き空間である。
・φ A→Bが環の準同型であるとき、Spec BからSpec Aへの自然な局所環付き空間の射が誘導される。
・AとBが環のとき、任意のSpec BからSpec Aへの局所環付き空間の射は環の準同型から上の主張のようにして誘導される。
2.アフィンスキーム、スキーム、下部位相空間、構造層、スキームの射の定義をした。
スキームの例を2つ見た。アフィン平面の部分の行間にわからない部分があるが、もう少し考えてみようと思う。
解説はHartshorneに譲るとして、イメージは
・局所自由層(ベクトル束)の一般化
・層コホモロジーの理論が展開できる便利なやつ
かな
代幾といって思いつくのは、
青チャートの代数・幾何
山本の１次変換の基本
写像と軌跡
双有理幾何学というのは、射影幾何学の自然な一般化であって、本来直感的なもののはずなのに、まったく幾何学的な内容が頭に浮かんでこない
Hartshorneの定義だと、構造層O_XがO_X加群として連接であることは自明に見えるのだが、私は何か勘違いしているのだろうか？
たとえば岡の連接定理は、複素多様体の正則関数の層O_Xが、O_X加群として連接ということを主張していて、これは大定理なんだよね？全然自明じゃないんだよね？
>>14
それはスキーム論の特殊事情
一般の環付き空間に対する連接層の定義はもう少し複雑、例えばwikipediaで見ることができる 導来関手のwell-definednessがなかなか理解できなくて難しい。
特に射のwell-def
本気でDerived categoryの話しを勉強するならLNM10のresidues and duality の最初の方の解説読む方がいいかも。
因子と可逆層
線形系と有理写像
ampleness
交点数
ブローアップ
このあたりが重要なのは分かるが、頭が追いつかない
誰か、こいつらの意味や関係性を分かりやすくまとめてくれないか
>>18
ありがとう。探して読んでみようと思います。
今アーベル圏でのホモロジー代数の準備をしていて、その中で導来関手が出てきたのだがよくわからなくて困っていたところで。。
参考にします >>19
それぞれ基本的な概念だから、苦労しながらでも本を読んで頑張るのが一番だと思う
とりあえずナイーブにではあるけど説明してみる
因子は余次元1の部分多様体に注目したもので、"動かす"ことで一致する２つの部分多様体を同一視した同値類を考える、という発想が基本
その同値類[D]からは自然に可逆層(=直線束)O(D)が定まる
また、Xの因子の同値類[D]を一つ定めると、とある手続きによりXから射影空間への有理写像が得られる
この写像は「O(D)の大域切断がどれだけあるか」ということに関係しており、特に大域切断が"十分に多い"場合にはこの有理写像は閉埋め込みを与える
このような因子を豊富(ample)であるという
交叉理論は、簡単に言えばXの任意の２つの部分多様体の交わりを定めようという話
どこに困難があるかというと、良い交わり方をしているとは限らないこと
これはdim(V∩W)>dimV+dimW-dimXとなる場合で、期待されるより大きな次元で交わってしまっている
どう解決するかというと、一方をうまく"動かして"よい交わり方をするように置き換える(ここでも動かして一致する２つの部分多様体は同一視するという考えを使っている)
ample divisorの特徴づけには交点数を用いたものもある
ブローアップは抽象的に定義するだけなら簡単、実際に計算したりすると大変になるけど
ざっくり言えばスキームや多様体の中の悪い点を解消する操作で、証明の中で使うことも多い
(ブローアップにより状況を改善してから主張を示して、ブローダウンしても同様に正しいことを示す、といった流れなど)
他にも多様体の様々な不変量がブローアップによりどのように変化するのか、といったことは基本的な興味の対象となっている 計算して分かった
因子から定まる有理写像って、二次曲線の立体射影を一般化したようなものか
>>1
乙です
1さんは、代数幾何そのものを主戦場にされる予定ですか？
>>5
Mumford代数幾何学講義は自分も気になっていた本でした
応援してますよ >>23さん
自分はアカデミックに残って研究しようと言うつもりはないのですが、目標としては数論幾何を趣味でやろう考えています。 ハーツホーンなんか読んでも何にもならない
数論幾何をやりたいならサッサとSGA４を読もう
必要なスキーム論は適時EGAで補う
>>19
>このあたりが重要なのは分かるが、頭が追いつかない
数論的な文脈に迫られて学ぶのが一番いい >>24さん
そうですか
モチベーションの維持が大変だと思いますが頑張ってください、応援しております
また気が向いたら進捗を書き込んでください、楽しみにしてますよ ＞ハーツホーンなんか読んでも何にもならない
さすがにそれはない
全部読む必要もない
広中平祐ってよくあんな時代に難解な
スキーム理論をものにして大定理を証明したよな
>>33
広中さんは、局所理論は永田さんに、大域理論はグロさんに学んだんだろ。 代数分科会ってすげぇよな
分野が半端なく広いから、身内の研究内容しかわからない
他人の研究内容はほぼ分からん
でも自分の講演後に、知らない人からまさかの質問飛んできてまじでビビった
たった3分の講演でも身内以外に聞いている人がいたことに感動した
表現論絡みだよ
どこの分科会にも出ているよ
代数分科会だけは雰囲気が独特だね
他は和気あいあいだけど
代数分科会ってそんな感じなんだね
ここはまったり良スレになる予感
最近は大学のセミナーで代数的整数論(ノイキルヒ)をやっているのでそれほど代数幾何に時間が割けないのですが、ここ数日でデデキント環と少しばかり友達になれた気がして嬉しい1です。
さっきの進捗として
デデキント環を非自明なイデアルで割った環がアルティン環である
を示しました。(証明あってると思うけどそんなに自信ないので突っ込んでもらえると嬉しいです)
(証明)Oをデデキント環とし、IをOの非自明なイデアルとする。このとき、O/IはOがネーター環であることよりネーター、かつ次元が0である。
実際、O/Iの素イデアルはIを含むOの素イデアルと一対一に対応しており、Oがデデキント環よりそれらは全て極大イデアルである。
よって、再びイデアルの対応定理よりO/Iの素イデアルは全て極大イデアルになるので次元が0であることが従う。
以上より、O/Iが0次元ネーターであることが言えたのでアルティン環である。(終)
よかったらコメントお願いします
トリップの付け方がわからないのですが、これであってるんですかね..
明日代数幾何の講義があるので進捗を話せたら話します(^^)
Aを次数付き環とし、X=Proj(A)に対する、Serreのtwisting sheaf
O_X(n)
のアファイン開集合における切断が、具体的にどんな加群になるのかがわからない。
理解していない部分があると思うので、わかる範囲で正確に述べることを試みる。間違いがあったら、指摘して欲しい。
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Aを次数付き環とする。
X = Proj(A)
とする。これは、集合としては、
X = { P ⊂ A; 斉次素イデアル }＼{ A自身, Aの1次の元全体で生成されるイデアル }
Xの開集合は、各斉次元f∈Aに対して、
D+(f) := { P∈X; f∉P }
で生成される。
各開集合D+(f)に対して、Xの構造層O_Xの切断は、
Γ(D+(f), O_X) = (乗法系f, f^2, f^3, ... によるAの局所化)の0次成分 （A[1/f]_0と書く）
fとして1次の元をとり、Xを各D+(f)に制限すると、
X|_D+(f) ～ Spec(A[1/f]_0)
なので、Xはスキームになる。
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引き続きAを次数付き環、X=Proj(A)とし、Mを次数付きA加群とする。
Mに付随するO_X加群の層M~が、以下のように定まる。
各斉次元f∈Aと、開集合D+(f)に対して、M~の切断は、
Γ(D+(f), M~) := (乗法系f, f^2, f^3, ... によるAの局所化)の0次成分
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次数付きA加群Mに対して、n-th twisting M(n)を以下で定める
M(n)のd次成分 := Mのn+d次成分
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Aを次数付き環、X=Proj(A)とする。
A自身を次数付きA加群とみなして、
O_X(n) := A(n)~
と定義する。
M~の切断のところ。
> Γ(D+(f), M~) := (乗法系f, f^2, f^3, ... によるAの局所化)の0次成分
これは
> Γ(D+(f), M~) := (乗法系f, f^2, f^3, ... によるMの局所化)の0次成分
の間違い
AをNoether環、BをA係数多項式環
A[x_0, x_1, ..., x_N]
とし、X=Proj(B)とする。
O_X(n) = B(n)~
まず、大域切断。
X=D+(1)、B(n)=B(n)_(1)と、Γ(X, O_X) = Aから、
Γ(X, O_X(n))
= B(n)の0次成分
= Bのn次成分
= (Bのn次単項式でA上張られる加群）
続いて、1次の斉次元x_0に対するD+(x_0)上の切断。
Γ(D+(x_0), O_X) = A[x_1/x_0, x_2/x_0, ..., x_N/x_0]
Γ(D+(x_0), O_X(n))
= { m/(x_0)^d; m∈B(n)のd次の元 }
= { m/(x_0)^d; m∈Bのn+d次の元 }
写像h: Γ(D+(x_0), O_X)*(x_0)^n → Γ(D+(x_0), O_X(n))を、
h(f*(x_0)^n) = f*(x_0)^n
で定めることができる。x_0は零因子でないから、hは単射。任意のm/(x_0)^nに対して、h(m/(x_0)^n * x_0) = m/(x_0)^nなので、hは全射。よって、
Γ(D+(x_0), O_X(n)) = Γ(D+(x_0), O_X) * (x_0)^n
----
より一般に、
次数付き環B、X=Proj(B)、1次の斉次元f∈Bに対して、
Γ(D+(f), O_X(n)) = Γ(D+(f), O_X) * (f^n)
よって、
O_X(n)|_D+(f) = (f^n) O_X|_D+(f)
となり、O_Xは可逆層になる。
さいご
> O_Xは可逆層になる。
は
> O_X(n)は可逆層になる。
に。
全射性のところ
> 任意のm/(x_0)^nに対して、h(m/(x_0)^n * x_0) = m/(x_0)^nなので
は
> 任意の
>
> m/(x_0)^d∈Γ(D+(x_0), O_X(n)) = { m/(x_0)^d; m∈Bのn+d次の元 }
>
> に対して、
>
> h(m/(x_0)^(n+d) * (x_0)^n) = m/(x_0)^d
>
> なので、hは全射。
に。
エタールコホモロジーはSuslin複体によって
グロタン位相を用いず定義することもできる
混合モチーフの導来圏から混合モチーフの圏を抽出
できるならその存在からスタンダード予想は解ける
局所化は分かるけど、完備化にはどんな意味があるの？
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