集合の問題なんだけど誰か教えてください [転載禁止]©2ch.net ->画像>1枚

nを自然数とする。このときRとR^nは濃度が等しいことを示せ。

Rは実数全体って意味のRです

対角線論法でぐぐれ

無限少数で一意に表示してn個飛ばしに取って行った実数n個に対応させる写像を考えれば良い

L={x∈R｜0＜x＜1} とする。
x∈L と y∈R は y=(x-0.5)/(x(x-1)) で
一対一対応するから、R 対 Rn の代わりに
L 対 Ln で比較することができる。

Ln のうち 第2～第n 成分が 0.5 のものを集めると、
Ln の部分集合であって、L と一対一対応するから、
♯(Ln)≧♯L である。

Ln の元の各成分を十進小数展開して、
第k成分の小数第j位を小数第nj+k位に持つような
小数を新たに作ると、それは L の元になる。
この写像によって、
Ln は L の部分集合と一対一に対応するから、
♯(Ln)≦♯L である。

以上より、♯(Rn)=♯(Ln)=♯L=♯R である。

みなさんありがとうございます

二進数じゃ駄目なんですか？　なぜ、十進数なんですか？

解説を理解しているなら、そんな質問はするまでもないと思うが

2^ℵ0＝2^(ℵ0*n) は ℵ0＝ℵ0*n を証明してもいい

>>3 >>9
実数と無限小数が1対1というのはどうやって証明するの？

１対１に対応させれば良いんじゃないの？

>>11
どういうふうに対応させればいいの？

>>10
無限少数の定義は有る桁移行全部0にならないような少数表示と定義する
まず有限少数は999…(二進数なら111…)を使うことで無限少数表示も可能だから任意の実数が無限少数表示可能なことは言える
次に二つの異なる無限少数
0.a1a2a3…と0.b1b2b3…があったときan≠bnを満たす最小のnをiとする
ai<biとしても一般性を失わない
さらにbが無限少数で有ることからi<jでbj≠0なるものが存在する
このとき0.a1a2a3…≦b1b2…bi<b1b2…bj≦b1b2b3…より
a1a2a3…≠b1b2b3…
従って異なる二つの無限少数は別の実数を表す
以上のことから任意の実数は一意に無限少数表示可能

あと>>3書いたの俺だけど
n=2のとき0.11101010…と0.10191919…は無限少数だけど分けるとどっちも0.1と0.111…になるから単射にはならないよ
R≦R^nは自明だからR^n≦Rを示すための全射として持ち出したんだけど、この写像が全射としてちゃんと定義されるためには無限少数が一意で有ることが必要になるから一意って書いたんだ
一意って書き方だと全単射を作りたいようにも見えるし誤解させたならすまなかった
ちなみに>>4のやり方でもLの部分集合と一対一対応(すなわち単射である)ことを言うためにはやはり少数の一意性は必要になる

まあ後半部分は理解しているなら蛇足なので無視してくれ

>>13
むしろ「任意の実数が無限小数表示可能なこと」の方が疑わしいんだが。
二つの無限小数の間に必ず実数があるということはあり得るよね？

毎度ながら、サル用の単発糞スレは盛り上がるな

じゃ、いっそ、実数=無限小数を定義にしてしまえば良いのだ。おれってあったまいい！

>>16
なんも解決していない。頭悪い！

なんで？

>>14
任意の実数は少数部n桁で10^(－n)以内にあるから有限少数の桁数増やした極限、つまり無限小数表示可能

二つの無限小数の間に必ず実数がある、なんてことは当然過ぎて何を言いたいんか分からん

>>14
じゃあ実数xが無限少数表示可能なことを示す
何進数でも同じだけど10進数の場合で示す
整数は.999…を使えばいいのでxは整数でないとする
以下[y]はyを超えない最小の整数とする
まず整数部分は[x](=x0とおく)を採用する
次にx1=[10(x-x0)]とする
次にx2=[100x-100x0-10x1]
…
xk=[10^kx-10^kx0-10^(k-1)x1-…-10x(k-1)]
…
が順次定義される
xnが途中からずっと0になるなら有限少数なので無限少数にできる
ならないならx0.x1x2…が求める無限少数

>>19
>任意の実数は...有限少数の桁数増やした極限、つまり無限小数表示可能

>>20
>ならないならx0.x1x2…が求める無限少数

スマンがそこがわからん。
いくらx0.x1x2…とやっても実数xがそれとは一致しないということはないの？
論点先取りしていない？

>>17
いや、むしろ、中学高校での「実数」は >>16 流なんじゃないか。
数学でも、p進体なんかは >>16 っぽく定義することが多いし。

>>22
じゃあ別の定義をすれば、簡単に、実数=/=無限小数にできるよね？

>>23
別の定義をすれば、「実数」が別のものになるだけ。

>>21
10進n桁近似すると、誤差が10の-n乗以下になる
って、>>19の冒頭に書いてあるぞ。n→∞の極限で
近似値は何に収束する？

>>21
じゃあ>>20の補足であとはx0.x1x2…=xを示す
これはつまりΣ{k=0,n}xk/10^k→xを言えばいい
左辺をSnとすると定義から|x-Sn|<1/10^n
よって任意のε>0に対してN=log_10(ε)とするとn>Nのとき|x-Sn|<1/10^N=ε
よってn→∞でSn→x

>>25
0に収束するが、それで？

>>26
>よってn→∞でSn→x
そうだが、xと一致する？

>>24
どっちが本当の実数なの？

>>28
無限少数の定義はその行き先の方だから一致するよ

つまりは、無限小数は実数の近似値に過ぎないのか。困った

>>29
それは、「本当の実数」て言葉の意味を定義してから訊け。

>>31
違う。
無限小数は、近似値の列の極限で、もとの実数自身。
数列の項と極限の区別はついてる？

>>32
つまり、どっちを実数の定義としてもよいということね？

ふとおもった。実数が有限小数の列の極限なら、極限値は何？

実数

そか、結局、無限小数=実数は定義でかまわないのか。

有理数のコーシー列の同値類が実数だと思ってた

>>37
加減乗除とか順序とか適切に定義すればな。

超実数ってのもあったな

すでに過去形か。駄目だったんだね。

ワロた

つらつらと証明書いてたけどもっと基礎的なところでつまずいてたのね

実数とはアルキメデス完備順序体のことです

>>41
駄目なわけあるか！
超準解析は今もあるわい
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/nsa2013.pdf

河東センセーの講義受けてみたいなあ

εδvs超準って、ＶＨＳvsβと似ている気がする。

超準解析は基礎論やら超積やら道具立てが大掛かりすぎ

コンウェイの超現実数というのがあるけど、これはどういう位置づけなのかな？

数学小説です。

>>48
トールの超実数（superreal）なら高々冪級数程度の大きさだぞ
※ロビンソン超実数（hyperreal）やそれよりデカいデールズ&ウディン超実数（superreal）
　と混同してはいけない。そしてコンウェイ超現実数（surreal）はさらにデカい。

コンウェイのは、わりと薄い本だったよ。

薄い本…、官能同人誌だったのか

漫才みたいなスレだ

>>50
トールの超実数というのは知らないな
ベキ級数程度ということは形式的ベキ級数でも使うん？

>>54
大体そう

http://www.jonhoyle.com/MAAseaway/Infinitesimals.html の3.2節

超って意味の接頭辞も度合いとしては super < hyper < ultra と思ってるんで
hyperrealより小さいsuperrealは準超実数でいいと思うんだが
なんでhyperよりデカいものにsuperって付いちゃったんだろうと思う……

super < hyper

ポケモンか？

ポケモン？は知らんけど以前に、もともと語としてそうなはずなんだが…

スーパーマン　＜　ハイパーマン　＜　ウルトラマン　最強！　てことか。

大体スレの趣旨からして超準解析持ち出す奴はバカ

趣旨なんてそんなのあるってのか

単発糞スレに趣旨も糞もないわな

バカ言う奴がバカてのは何度でも真理だな

オマエモナ

なんだ悔しいのか

ぐやじー(鼻水)

R がいらんよ。俺そんな濃度に興味ないし。
そもそも考えても策略で関東軍の女が昔大量に理系の遅軍のせいで
死んでるぞ。

それより麻雀で和算跳算しなさい。なぜ麻雀の牌を置くのが早く
文系数学者がいつも速さにおいてもトップ賞なのか。ウマ24000

これは、
運営なのか
荒らしなのか
運営による荒らしなのか

集合てのは、将制度をとるか、部隊制度つまり、
無名の兵が勝つのか、出世したしていく将が勝つのか、という、
世界的にはヴィトゲンシュタインの言語ゲームな論理学に書いてある通り、
世界の一大事の一つだから文系のほうが理系教科も理系できるという意味に
おいての意味が、
ま、こういう場合はそのことがだいじ。
海外の国立学生に騙された理系の女子には昔から救済してる。

日本語も出来ない奴がageるな

ageは特別なことだもんな（君にとって）

でもなぁ、ageるが勝ちって言うぜ。

いったいこれは、
哲なのか
運営なのか
哲をこじらせた運営なのか？

何かにつけて運営とかいうものの存在を持ち出す人って知能低そうだね

知能低いってより、お薬効いてないなーと思う

ageる価値なし

良スレage

これは、
哲なのか
荒らしなのか
哲による荒らしなのか？
それとも、やっぱり
運営なのか。

知能低そう

低くなかったら、こんなとこ来ないし、
来ても書き込みなんてしない。
まともな人間だったらな。

おまえもか

ブタールス

低脳同士の煽り合い

あなたが一番

わたしが二番～ドンドン

真理を発見しました (哲学系)
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