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1132人目の素数さん
2011/10/02(日) 20:55:54.66
癖のある教科書に引っかからないようにしましょう
2132人目の素数さん
2011/10/02(日) 21:01:46.62
僕が、柴垣がお薦めです!というとすごく非難されます。
でも、詳しければいいとか、易しければいいとか、
そういうことではないと思うんです。
3132人目の素数さん
2011/10/02(日) 21:03:39.32
関連スレ

関数解析(Functional Analysis)
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1311378587/
4132人目の素数さん
2011/10/02(日) 21:10:56.54
関連過去ログ

関数解析&ルベーグ積分
http://logsoku.com/thread/science.2ch.net/math/1043423127/

Functional Analysis, Lebesgue Integral II
http://logsoku.com/thread/science3.2ch.net/math/1088665870/

Lebesgue積分ゼミ
http://logsoku.com/thread/science3.2ch.net/math/1109910304/
5132人目の素数さん
2011/10/03(月) 17:22:22.80
R^1上のルベーグ可測な集合Aで
どんな開集合Oと零集合S1,S2をとってもA=(O∪S1)-S2とならないような
Aは存在しますか
6132人目の素数さん
2011/10/03(月) 21:59:30.38
>>5
存在する。


集合A⊂Rに対して、Aの閉包をA^aと書き、Aの開核をA^iと書くことにする。
ルベーグ可測集合Aに対して、Aのルベーグ測度をm(A)と書くことにする。

補題1:Oは開集合でNはゼロ集合とする。このときO⊂(O∩N^c)^aが成り立つ。
補題2:閉集合 K⊂R であって、K^i=φかつm(K)>0を満たすものが存在する。

>5への回答:
補題2を満たすKを取る。このKが求めるAである。実際、ある開集合Oと零集合S1,S2が存在して

K=(O∪S1)∩S2^c

と表せたとする。K ⊃ O∩S2^c であるから、

K = K^a ⊃ (O∩S2^c)^a ⊃ O

が成り立つ(最後の包含は補題1を使った)。よって K ⊃ O となるので、

φ = K ^i ⊃ O^i = O

となる。すなわちO=φとなる。このとき K=S1∩S2^c ⊂ S1 だから
m(K)≦m(S1)=0すなわちm(K)=0となるが、これはm(K)>0に矛盾する。
よって、どんな開集合Oと零集合S1,S2をとってもK=(O∪S1)∩S2^cとならない。(終)

補足:K=(O-S1)∪S2 も出来ない。この場合 K ⊃ O∩S1^c だから、あとは同じ議論で矛盾する。
7132人目の素数さん
2011/10/03(月) 22:04:10.32
x∈Rを中心とする半径rの開球をB_r(x)と書くことにする。
開球と言っても、今の場合は1次元だからB_r(x)=(x-r, x+r)である。

補題1の証明:
O=φのときは明らかに成立する。以下、O≠φとしてよい。
題意を示すには「x∈Oならばx∈(O∩N^c)^a」を示せばよい。すなわち、

「x∈Oならば『任意のr>0に対してB_r(x)∩(O∩N^c)≠φ』」

を示せばよい。
x∈Oとする。あるr>0が存在してB_r(x)∩(O∩N^c)=φ が成り立つとする。このとき

B_r(x)∩O ⊂ N … (1)

が成り立つことが分かる。また、Oは開集合でx∈Oだから、B_{r_1}(x)⊂Oなるr_1>0が取れる。
よって、r_2=min { r, r_1 } と置けば B_{r_2}(x) ⊂ B_r(x)∩O となる。これと(1)から

B_{r_2}(x) ⊂ N

となる。よって 0 < m(B_{r_2}(x)) ≦ m(N) = 0 となって矛盾する。
よって、任意のr>0に対してB_r(x)∩(O∩N^c)≠φが成り立つ。以上より、成立。
8132人目の素数さん
2011/10/03(月) 22:13:53.82
補題2の証明:
I=[0,1]と置く。有理数全体の集合をQと置く。Qは可算集合だから、
Q={p_k|k=1,2,3,…} と番号づけて表示できる。

O = ∪[k=1~∞] B_{ 0.01^k }(p_k)

と置くと、明らかに

Q ⊂ O … (1)

である。また、Oは開集合であり、

m(O) ≦ Σ[k=1~∞] 2*0.01^k = 2/99

が成り立つ。次に、K=I∩O^c と置く。このKが求めるKである。以下でこれを示す。
まず、Kは明らかに閉集合である。次に、

I=(I∩O^c)∪(I∩O)=K∪(I∩O)⊂K∪O

が成り立つ。よって

1=m(I)≦m(K)+m(O)≦m(K)+2/99

すなわち m(K)≧1-2/99>0 となる。さらに、K^i=φである。実際、K^i≠φだとすると、
x∈K^i なるxが存在する。このとき、あるr>0が存在してB_r(x)⊂K^i が成り立つ。これと

K^i ⊂ K = I∩O^c ⊂ O^c ⊂ Q^c

より、B_r(x) ⊂ Q^c が成り立つことになる。しかし、B_r(x)=(x-r, x+r) には
必ず有理数が含まれるから、矛盾する。以上よりK^i=φである。(終)
9132人目の素数さん
2011/10/06(木) 16:53:11.59
>>6-8
証明理解しました
測度が0じゃないカントール集合のようなモノを作ればいい訳ですか
ありがとうございました!
10132人目の素数さん
2011/10/19(水) 22:45:57.22
sage
11132人目の素数さん
2011/10/20(木) 18:17:33.18
よくわからない問題があるので是非よろしくお願いします。
f(x)=sin(2πx) (0.1)\Q
     ∞     (0.1)∩Q
の||f||L∞(E)


g(x)=1/x (0.1)
の||g||L∞(E)


の二問です。
よろしくお願いします。
12132人目の素数さん
2011/10/20(木) 18:26:41.97
>>11
E=(0,1)だとして
どんなに小さいε>0に対しても{x∈E | 1-ε≦f(x)≦1}の測度が0より大きくて
{x∈|E | |f(x)|>1}の測度が0だから ||f||_L∞(E)=1
またどんなに大きいC>0に対しても{x∈E | g(x)>C}の測度が0より大きいから
||g||_L∞(E)=∞
13132人目の素数さん
2011/10/20(木) 22:16:41.35
12番さん

14132人目の素数さん
2011/10/21(金) 05:28:05.65
pink
15132人目の素数さん
2011/10/22(土) 22:56:47.26
R上のルベーグ測度に関する絶対連続測度μを考える
μ-測度収束位相において、C_0^∞(R)がR上μ-可測関数全体のなす線形空間の閉部分空間となる例は有るか?

f_nが測度収束 ∀ε,δ>0∃N∀n,m>N ( m(|f_m-f_n|<ε)<δ)
16132人目の素数さん
2011/10/26(水) 18:39:40.84
わからない問題があります。

E∈m m(E)<∞
1≦p<q≦∞のとき
Lq(E)⊂Lp(E)を示せ。

またf∈Lp(E)→||f||Lp(E)≦Co||f||Lq(E)
となる Co(fによらない)があることを示せ。

お願いします。
17KingMathematician ◆5lHaaEvFNc
2011/10/27(木) 00:04:35.38
q_n(n=1,2,…)を有理数の列ですべての有理数が一度ずつ入る列としよう.
∪(q_n-2^(-n)..q_n+2^(-n)) はBorel可測となりその測度は1以下になるはずだが, 本当にこれでいいのか.
18KingMathematician ◆5lHaaEvFNc
2011/10/27(木) 00:06:45.12
n番目の区間のBorel測度は2^(-n+1)になるから,和集合のBorel測度は2以下になるはずだが,本当にこれでいいのか.
19132人目の素数さん
2011/10/27(木) 03:01:10.48
僭越ながら高校生の者です。ルベーグ積分を勉強したいのですがどの教科書がいいですか?
20132人目の素数さん
2011/10/27(木) 03:19:15.20
>>19
う~ん。
とりあえずは志賀浩二の「ルベーグ積分30講」だな。
自分も高校の時に読んで良かった。
ソレ以外だと、適当なのがないな。
21132人目の素数さん
2011/10/27(木) 04:51:00.58

中野剛志先生がTPP賛成論者の詭弁を全滅させたようです






中野先生が敗北宣言、暗殺される?
日本が米国の植民地に。すでに99%手遅れか?



lud20250214003600ca
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